Spherical Gaussian (2)

• 前言

在上一篇，簡單介紹了一維 Gaussian Function ， 

在本篇，將會介紹在圖形渲染所使用的 Spherical Gaussian ，

作為後面章節應用的基礎知識。

• Spherical Gaussian

Spherical Gaussian 的定義如下

其中：

v：求得 Spherical Gaussian 結果的三維方向輸入參數；對渲染物體而言，可視為來源光的方向

p：lobe axis；對渲染物體而言，可視為該點的法向量

λ：lobe sharpness；一個範圍在 [0, ∞] 的一維參數，控制 lobe 的形狀，越大越尖銳

μ：lobe amplitude；對渲染物體而言，可視為該點的顏色值(RGB)

和一維 Gaussian Function 一樣，

Spherical Gaussian 提供了 λ 和 μ 兩個參數來控制輸出的形狀。

λ=10時，μ對 lobe 形狀的影響

μ=1時，λ對 lobe 形狀的影響

在數學上，Spherical Gaussian 有著下述特性

1. 兩個 Spherical Gaussian 相乘結果仍為 Spherical Gaussian

2. Spherical Gaussian 積分為一個 closed-form

3. 兩個 Spherical Gaussian 的 inner product (內積) 也是一個 closed-form

回想我在 淺談 physically based rendering (1) 提到的渲染方程式

上述提到的 Spherical Gaussian 可以有效率地去處理複雜的 hemispherical integration，

這代表著，我不必去取大量的樣本數就可以直接得到積分結果。

• 結論

Spherical Gaussian 雖然算是個比較冷門的話題，但 Ready At Dawn 工作室卻對其情有獨鍾，

並使用在其自製遊戲引擎，其效果也在遊戲 The Order:1886 得到了驗證。

最近不只歐美，連日本也開始對 Spherical Gaussian 開始研究，

相信 Spherical Gaussian 應該會逐漸地受到注目，尤其是在注重效能的移動裝置上。

本篇對 Spherical Gaussian 的介紹就到此結束，

下一篇將討論 Spherical Gaussian 在 Physically based rendering 的應用。 

• References

1. "All-Frequency Rendering of Dynamic, Spatially-Varying Reflectance” Jiaping Wang, Peiran Ren, Minmin Gong, John Snyder, Baining Guo. SIGGRAPH ASIA 2009
2. The Danger Zone, Matt Perrineo
3. 球面ガウス関数を極める －動的間接照明の高速近似－ CEDEC 2015 (2015）,株式会社スクウェア・エニックス，德吉 雄介