Spherical Gaussian (1)

• 前言

Gaussian Function (高斯函數)是一個被廣泛應用在各個領域的數學函式。

在統計學、訊號處理、自然科學及工程學等領域都可以看到它的身影。

本主題將分成數篇文章討論 Gaussian Function，從一維到球面。

最後介紹在圖像渲染的應用

•  Gaussian Function

一維 Gaussian distribution (高斯分布，又稱常態分布) 可以用下列的數學方程式來表示

其中： 

σ 是 standard deviation (標準差 )

μ 是 expected value (期望值，對機率分布而言 常稱為平均值)

從圖表來看，會呈現一個 bell curve (鐘形曲線)。

σ=0.2, μ=0 的Gaussian distribution曲線

Gaussian distribution 最大的特徵，就在於可以畫出左右對稱的 bell curve。

仔細觀察 Gaussian distribution ，發現方程式可以由三個部份來控制輸出形狀。

因此，做為一個 bell curve 的輸出函數，Gaussian Function 可以改寫成下圖所示：

其中：

參數 a 控制曲線峰值

b=0, c=1 的Gaussian function曲線

參數 b 控制曲線中心位置

a=1, c=1 的Gaussian function曲線

參數 c 控制曲線平滑度

a=1, b=0 的Gaussian function曲線

• 結論

本篇簡單的介紹一維 Gaussian Function 作為引導，了解各參數對輸出形狀的影響。

在下一篇會開始進入 Spherical Gaussian 的討論，並說明在圖像渲染的應用。