- 前言
在計算環境反射時，最常使用的就是 Cubemap。
圖片來源: Unity Manual
Cubemap 是由六張圖片對應六個方向所組成，
這對於 mobile 來說負擔太大，很容易造成效能瓶頸。
因此，本篇介紹一個較輕量的作法來實現環境反射，
此方法叫 Dual Paraboloid Environment Mapping。
- 原理
先來看一個二元的數學方程式
這時透過觀察可以發現：當 x^2 + y^2 ≤ 1， 則 0 ≤ f(x,y)。
在上述的條件下，取 F(x,y) 上的任一點 P，
P 的座標可以記為 (x, y, f(x,y))。
在 P 點上，分別對 x 軸和 y 軸作微分，可以得到 P 點上的兩個切線向量。
接著，對 Tx 和 Ty 做外積，可以得到 P 點上的法向量 N = (x,y,1)。
這時取一條從原點到 P 點的向量 P'，
計算 P' 相對於 N 的反射向量 R 。
R 的計算可以透過反射公式求得。
其中，上述所有向量都必須為單位向量。
因此，首先正規化向量 P' 和 N。
得到兩個正規化向量後，帶入反射公式，求得反射向量 R。
可以得知，反射向量為一個固定值(0,0,1)。
從上述的證明可以得到兩個重點
- 平面 f(x,y) 上任何一點的法向量 N = (x,y,1)，因為其 Z 軸為一個常數值，所以 N 可以視為一個二維變數。
- 從原點開始的任何一個向量 P'，和平面 f(x,y) 接觸後的反射向量為一個固定值(0,0,1)。
這代表著我可以將一個三維向量 P' 在 Cubemap 取得的顏色資料 D，
透過計算向量 P' 和平面 f(x,y) 交接處的法向量 N，
將顏色資料 D 儲存在一個2維陣列內。
而法向量 N 的計算就透過 P' 和固定反射向量 R 來求得。
但回頭看看平面方程式，為了方便說明我只顯示 X-Z 平面的形狀
這個平面只包含了上半部(+Z)，
勢必要提供一個下半部(-Z)的二元方程式，才能完整獲得 Cubemap 所有範圍資料。
因此透過此方法，可以將一個 6張2維貼圖的資料，只用 2張2維貼圖儲存，
大大的減少資源需求。
- Unity 實作
在實作範例中，我示範如何將一個使用 Cubemap 的 skybox，轉化成兩張 2維貼圖。
Dual Paraboloid map 一般用在即時的環境映射(事實上，我參考的文獻也是此種做法)，
但一般 mobile 很少做這種計算，且兩者做法類似，
因此我在這裡示範 off-line 的 cubemap 轉換，若對 real-time 的環境映射有興趣，
可以參考我在文章最後列出的參考項目。
首先，在 Scene 裡面產生一個 Sphere 模型，
然後把攝影機設定在 Sphere 的原點為0，並設定 Clear Flags 為 Solid Color，顏色指定黑色
(在範例中，我是將畫面分成 +Z 和 -Z 兩個方向，所以攝影機的旋轉值全部設為 0)
接著，將 Sphere 掛上下面 Shader，並指定要轉換的 Cubemap
畫面變成
將輸出的畫面儲存。
接著把攝影機繞 Y 軸轉 180度，重複上述步驟，會得到下面結果
如此就完成了 Dual Paraboloid Environment mapping。
最後在附上 Dual Paraboloid Environment mapping 的 skybox shader。
- 結論
本章節只討論 Dual Paraboloid Environment mapping 的其中一個應用，
就如同文章一開始所提到的， 一般常見的用法是用在 real-time 環境反射。
但兩者基本上做法是一樣，有興趣的人可以參考後面的參考連結，
修改上面提供的 shader 試試。
- References
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