淺談 physically based rendering (3)

• 前言

前兩篇對 physically based rendering 進行了簡單的說明，

本篇開始正式深入探討 BRDF 的內容。

BRDF 如上篇說言，分成 Diffuse BRDF(擴散反射) 和 Specular BRDF(鏡面反射)。

本章節將專注討論 Diffuse BRDF。

• Diffuse 反射

回顧一下上一章整理出的單一光源的反射光模型，我們將焦點放在 Diffuse反射部分。

首先，我們會遇到的問題是如何指定 F0 。(Fθ 可用 Schlick's approximation 去求得)

F0 的值是根據物質本身的物理反射率，

但事實上，要針對每個渲染物體去查出正確的反射率是一件不簡單的事。

對於遊戲研發人員來說，希望有一個簡單的規則可以取得每個物體的反射率近似值。

因此在實作上分為兩種做法 :  

1. metallic-roughness (又稱metallic workflow)
2. specular-glossiness (又稱specular workflow)

在這系列的所有文章，我都會以 metallic-roughness 架構去說明與實作。

(著名的 Disney Principled BRDF [1] 也是使用 metallic-roughness)。

• metallic (金屬度)

根據[1]，metallic 代表物體的反射能力，其值範圍在 [0,1]。

反射能力越高，則鏡面反射越強，擴散反射越弱。

這個設定正好可以將物體區分成 :

dielectric(導電體，ex.水、油 ... 泛指粒子可通過的物體，metallic = 0)  和 

insulator(絕緣體，ex.鑽石、石英 ... 泛指粒子不可通過的物體，metallic = 1) 。

由於這兩個物理特性由於無法並存(除非不同物質混合，ex.生鏽)，

因此，metallic 的值只有 0 和 1。 

所以，可以利用 metallic 來判斷

Diffuse 反射(通過物體內部在反射出去) 和 

Specular 反射(不通過物體內部，直接在表面反射)

的強度比例 (i.e. F0)。

• F0 的近似值

F0 的近似值計算，目前參考的文獻[1][2][3]發現各個做法均有不同。

在本篇文章，我以 Unity3D 的作法為範例，進行說明與實作。

• Unity3D 的 F0 近似值

還記得上一章提到的垂直反射率的演算法嗎?

垂直反射率是根據兩個 Material 的折射率來求得。

資料來源 wikipedia

Unity3D 觀察所有 Material 的折射率發現，

對於一般的 dielectric，Material 的折射率範圍在 1.3 ~ 1.7 之間。

因此，取平均值 1.5，計算從 Vacuum(真空) 到 dielectric 的平均反射率 F0，

F0 = (1-1.5)^2 / (1+1.5)^2 = 0.04

套用 metallic ， F0 近似值的計算公式為

F0 = lerp(0.04, 1, metallic)

• Diffuse BRDF

到了這裡，終於進入了核心部分 Diffuse BRDF。

參考文獻，發現目前常被使用的 Diffuse BRDF 有 

Normalized Lambert、Oren Nayar BRDF[4]、Disney (Burley) diffuse BRDF[1][註1]。

在這裡，我採用 Normalized Lambert 作為 Diffuse BRDF。

採用的理由有：

1. 根據效能考量，Lambert 的計算是非常輕量且適用於 real-time
2. diffuse 的效果沒有 specular 來的明顯，與其使用複雜的計算來加強 diffuse，不如加強 specular 的效果來的理智。

事實上，Unity3D 和 Unreal4[註2] 也是使用 Lambert 作為 Diffuse BRDF。

• Normalized Lambert

將 Lambert 光照模型正規化使其符合能量守恆，就叫做 normalized Lambert。

Lambert 演算法如下：

其中， C 是渲染物體的顏色。

再來比較本章節一開始提到的 Diffuse 反射模型

可以發現 cos 項和入射光 Li 已經重複。

因此我們只要考慮如何物體顏色 C 和 Diffuse BRDF (frd) 的關係 。

我們回想最早提到的入射點 x，將 x 點放大會變成一個平面，

光的反射方向會涵蓋整個半球(因為從任何角度看點 x 都看的到顏色)。

因此，我們必須要將所有的反射光能量總和等於入射光能量，才能說是滿足能量守恆。

根據 Lambert's cosine law ，每個極小 steradian (立體角)間的反射光是成 cosθ 比例。

資料來源 wikipedia

因此，對 cosθ 做半球積分就等於反射光的總合。

中間證明的過程我就省略了，積分的結果為 π。

因此 Lambert 的 BRDF 為

• 總結

整理本章節的討論，我用 Unity3D 寫了一個只針對直接光(太陽)的 Diffuse BRDF。

下一個章節將會介紹 PBR 最核心的部分反射 BRDF。

• References

[1] Brent Burley - "Physically-Based Shading at Disney", 2012

[2] Brian Karis - "Real Shading in Unreal Engine 4", 2013

[3] S'ebastien Lagard, Charies de Rousiers - "Moving Frostbite to Physically Based Rendering 3.0",2014

[4] M. Oren and S.K. Nayar, "Generalization of Lambert's Reflectance Model". SIGGRAPH. pp.239-246, Jul, 1994

• 附註

1.事實上，Disney (Burley) diffuse BRDF 並不符合能量守恆的原則，但其所表現出來的畫面效果，仍受眾人肯定；EA(Electronic Arts)所研發的繪圖引擎(Frostbite)採用的 Diffuse BRDF，就是修改 Disney (Burley) diffuse BRDF，使其符合能量守恆。

2.在 Unreal 4 的 release note 上，記載了 Unreal 4.8 使用 Disney (Burley) diffuse BRDF，但到了 Unreal 4.9，又改回成 Normalized Lambert。